1.She stopped ____ hello to her friends. (Она остановилась, чтобы поприветстовать друзей)

stop + инфинитив - причины и следствия, тогда как герундий будет говорить о том, что кто-то прекратил делать что-либо (см. вопрос 2)

2.I stopped ____ 10 years ago. (Я бросила курить 10 лет назад)

Я бросила - прекратила курить 10 лет назад требует герундия, с инфинитивом это предложение означало бы: 10 лет назад я остановилась, чтобы закурить

3.I suggest____ there this Sunday.

suggest никогда не употребляется с инфинитивом.

4.I remember ____ the door in the morning (Я помню, что закрыла дверь)

remember to lock означало бы "не забыть закрыть", и в этом контекте невозможно, так как отсылает к будущему, тогда как контекст тяготеет к прошлому.

5.I regret ____ but you haven't been given the job (мне жаль говорить)

regret Ving - сожалеть о том, что уже сделано; regret to V - сожалеть о том, что придется сделать

6.We tried____ the car by ourselves but in the end we failed

try repairing - это эксперимент, try to repair - это попытка, предполагающая усилие

7.Please try____ him to help you. Perhaps he will do something for you.

попросить нетрудно, просто непонятно, что из этого выйдет: поэтому герундий

8.We would like ____ to the manager

would like - это не like, он не про эмоции, а про вежливую вариацию want и работает с инфинитивом

9.He has always enjoyed ____ time in the country.

enjoy + эмоция = герундий

10.Do you mind ____ the window?

mind - это не только ум, но еще и глагол "возражать", после которого мы ставим герундий. Без возражений :)